แบบทดสอบบทที่2

โจทย์ เฉลยคำตอบข้อ 1 ได้สามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2 รูป รูปที่ 1 ฐานยาว 4 เซนติเมตร ด้านประกอบมุมยอดยาวด้านละ 3 เซนติเมตร รูปที่ 2 ฐานยาว 2 เซนติเมตร ด้านประกอบมุมยอดยาวด้านละ 4 เซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม และมีความยาวรอบรูปเท่ากับ 10 เซนติเมตร มีได้ทั้งหมดกี่รูป วิธีทำ สามเหลี่ยมใด ๆ ( ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 ) > ความยาวด้านที่ 3 คุณสมบัตินี้เป็นจริงเสมอ ไม่ว่าจะให้ด้านใดเป็นด้านที่ 1 ด้านที่ 2 หรือด้านที่ 3 จากภาพสามเหลี่ยมนี้ a + b > c a + c > b b + c > a แนวคิดในการนับรูปสามเหลี่ยม ชื่อสามเหลี่ยมเกิดจากการนำจุด 3 จุดมาเรียงกัน เริ่มจากจุดใดก็ได้ สามเหลี่ยมรูปเดียวสามารถวางจุด 3 จุดได้มากกว่า 1 แบบ

แบบที่ 1 เริ่มจากจุด A วนไปในทิศตามเข็มนาฬิกา เรียกสามเหลี่ยมรูปนี้ว่า สามเหลี่ยม ABC ความยาวรอบรูป = 3 + 4 + 3 = 10 เซนติเมตร

แบบที่ 2 เริ่มจากจุด C วนไปในทิศตามเข็มนาฬิกา เรียกสามเหลี่ยมรูปนี้ว่า สามเหลี่ยม CAB ความยาวรอบรูป = 3 + 3 + 4 = 10 เซนติเมตร

แบบที่ 3 เริ่มจากจุด B วนไปในทิศตามเข็มนาฬิกา เรียกสามเหลี่ยมรูปนี้ว่า สามเหลี่ยม BCA ความยาวรอบรูป = 4 + 3 + 3 = 10 เซนติเมตร

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีฐานยาว 4 เซนติเมตร ด้านประกอบมุมยอดยาวด้านละ 3 เซนติเมตร
สามารถเขียนผลบวกของเส้นรอบรูป ได้ 3 แบบ
3 + 4 + 3 = 10 แบบที่ 1
3 + 3 + 4 = 10 แบบที่ 2
4 + 3 + 3 = 10 แบบที่ 3
ทั้ง 3 แบบเป็นสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน

รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม และมีความยาวรอบรูปเท่ากับ 10 เซนติเมตร

นำ 10 เซนติเมตรมาแบ่งเป็นเลข 2 จำนวนที่ได้ผลบวกเป็น 10
โดยจำนวนที่ 1 มีค่ามากกว่าจำนวนที่ 2 แบ่งได้กี่วิธี ?

6 + 4 = 10 วิธีที่ 1
7 + 3 = 10 วิธีที่ 2
8 + 2 = 10 วิธีที่ 3
9 + 1 = 10 วิธีที่ 4 จำนวนที่ 1 คือ ผลบวกของความยาวด้านที่ 1 และ ด้านที่ 2
จำนวนที่ 2 คือ ความยาวของด้านที่ 3


วิธีที่ 1 : 6 + 4 = 10

6 + 4 = 10 หมายถึง

ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 6 เซนติเมตร ความยาวด้านที่ 3 = 4 เซนติเมตร

ถ้า ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 6 แล้ว ด้านที่ 1 และ ด้านที่ 2 ยาวเท่าใด ?

3 + 3 + 4 = 10
2 + 4 + 4 = 10
1 + 5 + 4 = 10


1 + 5 + 4 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม เพราะ
ด้านที่ 1 ยาว 1 เซนติเมตร
ด้านที่ 2 ยาว 5 เซนติเมตร
ด้านที่ 3 ยาว 4 เซนติเมตร

แม้ว่า ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 2) > ด้านที่ 3
1 + 5 > 4

แต่ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
1 + 4 = 5
( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) = ด้านที่ 2

วิธีที่ 1 ได้สามเหลี่ยม 2 รูปที่มีเส้นรอบรูป 10 ซม. ได้แก่ (3 + 3 + 4) และ (2 + 4 + 4)

(3 + 3 + 4) คือสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐานยาว 4 ซม. ด้านประกอบมุมยอดยาวด้านละ 3 ซม.
(2 + 4 + 4) คือสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐานยาว 2 ซม. ด้านประกอบมุมยอดยาวด้านละ 4 ซม.


วิธีที่ 2 : 7 + 3 = 10

7 + 3 = 10 หมายถึง

ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 7 เซนติเมตร ความยาวด้านที่ 3 = 3 เซนติเมตร

ถ้า ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 7 แล้ว ด้านที่ 1 และ ด้านที่ 2 ยาวเท่าใด ?

3 + 4 + 3 = 10
2 + 5 + 3 = 10
1 + 6 + 3 = 10

(3 + 4 + 3) คือสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐานยาว 4 ซม. ด้านประกอบมุมยอดยาว 3 ซม. ซึ่งนับแล้วในวิธีที่ 1

2 + 5 + 3 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
2 + 3 = 5

1 + 6 + 3 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
1 + 3 < 6

วิธีที่ 2 ไม่ได้สามเหลี่ยม


วิธีที่ 3 : 8 + 2 = 10

8 + 2 = 10 หมายถึง

ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 8 เซนติเมตร ความยาวด้านที่ 3 = 2 เซนติเมตร

ถ้า ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 8 แล้ว ด้านที่ 1 และ ด้านที่ 2 ยาวเท่าใด ?

4 + 4 + 2 = 10
3 + 5 + 2 = 10
2 + 6 + 2 = 10
1 + 7 + 2 = 10

(4 + 4 + 2) คือสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐานยาว 2 ซม. ด้านประกอบมุมยอดยาว 4 ซม. ซึ่งนับแล้วในวิธีที่ 1

3 + 5 + 2 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
3 + 2 = 5

2 + 6 + 2 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
2 + 2 < 6

1 + 7 + 2 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
1 + 2 < 7

วิธีที่ 3 ไม่ได้สามเหลี่ยม


วิธีที่ 4 : 9 + 1 = 10

9 + 1 = 10 หมายถึง

ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 9 เซนติเมตร ความยาวด้านที่ 3 = 1 เซนติเมตร

ถ้า ความยาวด้านที่ 1 + ความยาวด้านที่ 2 = 9 แล้ว ด้านที่ 1 และ ด้านที่ 2 ยาวเท่าใด ?

5 + 4 + 1 = 10
3 + 6 + 1 = 10
2 + 7 + 1 = 10
1 + 8 + 1 = 10

5 + 4 + 1 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 2 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 1
4 + 1 = 5

3 + 6 + 1 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
3 + 1 < 6

2 + 7 + 1 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
2 + 1 < 7

1 + 8 + 1 = 10 ไม่เกิดรูปสามเหลี่ยม
เพราะ ( ด้านที่ 1 + ด้านที่ 3) ไม่มากกว่า ด้านที่ 2
1 + 1 < 8

วิธีที่ 4 ไม่ได้สามเหลี่ยม

เฉลยคำตอบข้อ 2

มุมที่ใหญ่ที่สุด = 100 องศา

โจทย์

อัตราส่วนมุมภายใน 3 มุมของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เป็น 1 : 3 : 5

มุมที่มีขนาดใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมรูปนี้มีขนาดกี่องศา

วิธีทำ

ผลบวกมุมภายใน 3 มุมของสามเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับ 180°


อัตราส่วนมุมภายใน 3 มุมของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เป็น 1 : 3 : 5

ผลบวกของอัตราส่วน = 1 + 3 + 5 = 9 ส่วน

ผลบวกมุมภายใน 3 มุมของสามเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับ 180°

นำ 180° มาแบ่งเป็น 9 ส่วน

แต่ละส่วน = 180° ÷ 9 = 20°

อัตราส่วนมุมภายในของสามเหลี่ยม = 1 : 3 : 5

มุมที่ใหญ่ที่สุดคือมุมที่มี 5 ส่วน แต่ละส่วนเท่ากับ 20°

ดังนั้น มุมที่ใหญ่ที่สุด = 5 x 20° = 100°     

เฉลยคำตอบข้อ 3 มุมยอดกาง 30 องศา โจทย์ สามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปหนึ่ง อัตราส่วนของมุมยอดต่อมุมที่ฐาน คือ 2 : 5 มุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปนี้กางกี่องศา วิธีทำ สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมที่ฐานเท่ากัน

อัตราส่วนของ มุมยอด : มุมที่ฐาน : มุมที่ฐาน = 2 : 5 : 5

ผลบวกของอัตราส่วน = 2 + 5 + 5 = 12 ส่วน

ผลบวกมุมภายใน 3 มุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°

นำ 180° มาแบ่งเป็น 12 ส่วน

แต่ละส่วน = 180° ÷ 12 = 15°

อัตราส่วนของ มุมยอด : มุมที่ฐาน : มุมที่ฐาน = 2 : 5 : 5

มุมยอดมี 2 ส่วน แต่ละส่วนเท่ากับ 15°

ดังนั้น มุมยอด = 2 x 15°

= 30°

เฉลยคำตอบข้อ 4 มุม EAC = 60° โจทย์ เส้นตรง DC แบ่งครึ่งมุม ACE เส้นตรง DB ตั้งฉากกับเส้นตรง AC ที่จุด B มุม BDC = 40° มุม AEC = 20° มุม EAC = กี่องศา

วิธีทำ

 

มุม BCD + มุม DBC + มุม BDC =	180° .................	( 1 )		ผลบวกมุมภายในของ ΔDBC
มุม DBC =	90° ...................	( 2 )		โจทย์กำหนดให้
มุม BDC =	40° ...................	( 3 )		โจทย์กำหนดให้
มุม BCD + 90° + 40° =	180° .................	( 4 )		แทน (2) และ (3) ลงใน (1)
มุม BCD + 130° =	180° .................	( 5 )		แทน (2) และ (3) ลงใน (1)
มุม BCD =	180° - 130° ......	( 6 )
มุม BCD =	50° ....................	( 7 )
มุม DCE =	มุม BCD ............	( 8 )		เส้นตรง DC แบ่งครึ่งมุม ACE
มุม DCE =	50° ....................	( 9 )		แทน (7) ลงใน (8)
มุม ACE =	50°+50°.............	( 10 )
มุม ACE =	100°...................	( 11 )
มุม AEC =	20°....................	( 12 )		โจทย์กำหนดให้
มุม EAC + มุม ACE + มุม AEC =	180° .................	( 13 )		ผลบวกมุมภายในของ ΔACE
มุม EAC + 100° + 20° =	180° .................	( 14 )		แทน (11) และ (12) ลงใน (13)
มุม EAC + 120° =	180° .................	( 15 )
มุม EAC =	180° - 120° .....	( 16 )
มุม EAC =	60°

  

เฉลยคำตอบข้อ 5 มุม CAB = 60° โจทย์ เส้นตรง DA และ EA แบ่งมุม CAB ออกเป็น 3 ส่วนเท่ากัน มุม DRB = 80° มุม ESB = 60° มุม CAB = กี่องศา

วิธีทำ

 

มุม ARS + มุม DRS =	180° ......................	( 1 )		ผลบวกเป็นมุมตรง
มุม DRS =	80° ........................	( 2 )		โจทย์กำหนดให้
มุม ARS + 80° =	180° .......................	( 3 )		แทน (2) ลงใน (1)
มุม ARS =	180° - 80° .............	( 4 )
มุม ARS =	100° .......................	( 5 )
มุม ESB =	60° .........................	( 6 )		โจทย์กำหนดให้
มุม ASR =	มุม ESB ..................	( 7 )		มุมตรงข้าม
มุม ASR =	60° .........................	( 8 )		แทน (6) ลงใน (7)
มุม RAS + มุม ARS + มุม ASR =	180° ......................	( 9 )		ผลบวกมุมภายใน ΔARS
มุม RAS + 100° + 60° =	180° ......................	( 10 )		แทน (5) และ (8) ลงใน (9)
มุม RAS + 160° =	180° .......................	( 11 )
มุม RAS =	180° - 160° ............	( 12 )
มุม RAS =	20° .........................	( 13 )
มุม CAB =	3 เท่าของมุม RAS ...	( 14 )		เส้นตรง DA และ EA แบ่งมุม CAB ออกเป็น 3 ส่วนเท่ากัน
มุม CAB =	3 x 20° ...................	( 15 )		แทน (13) ลง (14)
มุม CAB =	60°

   

เฉลยคำตอบข้อ 6 1,980 องศา โจทย์ รูป 3 เหลี่ยม มุมภายในทั้ง 3 มุมรวมกันเท่ากับ 180 องศา รูป 13 เหลี่ยม มุมภายในทั้ง 13 มุมรวมกันเท่ากับกี่องศา วิธีทำ

คำนวณผลบวกของมุมภายในของรูป 13 เหลี่ยม โดยใช้สูตร

ผลบวกมุมภายในของรูป n เหลี่ยม = (n - 2) x 180°

....คลิกที่นี่เพื่อดูที่มาของสูตร....

แทนค่าในสูตร เมื่อ n = 13

รูป 13 เหลี่ยม มุมภายในทั้ง 13 มุมรวมกัน	= (13 - 2) x 180°
	= 11 x 180°
	= 1,980°

เฉลยคำตอบข้อ 7 x + y + z = 360 องศา โจทย์ จากรูป x + y + z = กี่องศา

วิธีทำ

 


ให้ a, b และ c เป็นมุมภายในของสามเหลี่ยม

x + a	=	180° ............................	( 1 )		ผลบวกมุมเป็นมุมตรง
y + b	=	180° ............................	( 2 )		ผลบวกมุมเป็นมุมตรง
z + c	=	180° ............................	( 3 )		ผลบวกมุมเป็นมุมตรง
x + a + y + b + z + c	=	180° + 180° + 180° .....	( 4 )		(1) + (2) + (3)
(x + y + z) + (a + b + c)	=	180° + 180° + 180° .....	( 5 )		จัดกลุ่ม
a + b + c	=	180° ............................	( 6 )		ผลบวกมุมภายในของสามเหลี่ยม
(x + y + z) +180°	=	180° + 180° + 180° .....	( 7 )		แทน (6) ลงใน (5)
x + y + z	=	180° + 180° .................	( 8 )		ลบด้วย 180° ทั้ง 2 ข้าง
x + y + z	=	360°

เฉลยคำตอบข้อ 8 มุม MCN = 90° โจทย์ จากรูป มุม MCN = กี่องศา

วิธีทำ

 

MB =	2 ...................	( 1 )		โจทย์กำหนดให้
BC =	2 ...................	( 2 )		โจทย์กำหนดให้
MBC เป็น Δ หน้าจั่ว	.......................	( 3 )		ด้านประกอบมุมยอดเท่ากัน
มุม BMC =	มุม BCM .......	( 4 )		มุมที่ฐานของ Δ หน้าจั่ว
มุม MBC =	90° ................	( 5 )		โจทย์กำหนดให้
มุม BCM + มุม BMC + มุม MBC =	180° .............	( 6 )		ผลบวกมุมภายใน ΔBMC
มุม BCM + มุม BMC + 90° =	180° ..............	( 7 )		แทน (5) ลงใน (6)
มุม BCM + มุม BMC =	180° - 90° .....	( 8 )
มุม BCM + มุม BMC =	90° ................	( 9 )
มุม BCM =	90° ÷ 2 .........	( 10 )		มุม BCM = มุม BMC
มุม BCM =	45° ................	( 11 )
ΔNDC เป็น Δ หน้าจั่ว	มุมยอด 90° ...	( 12 )
มุม DCN =	45° ................	( 13 )		มุมที่ฐานของ Δ หน้าจั่ว NDC ซึ่งมีมุมยอด 90°
มุม BCM + มุม MCN + มุม DCN =	180° .............	( 14 )		ผลบวกเป็นมุมตรง
45° + มุม MCN + 45° =	180° .............	( 15 )		แทน (11) และ (13) ลงใน (14)
มุม MCN + 90° =	180° .............	( 16 )
มุม MCN =	180° - 90° ....	( 17 )
มุม MCN =	90°

เฉลยคำตอบข้อ 9 พื้นที่สีดำ 77 ตร.ซม. โจทย์ วงกลมใหญ่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 14 ซม. รูปครึ่งวงกลมเล็กมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 7 ซม. ส่วนที่เป็นสีดำมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร วิธีทำ

O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมใหญ่ สร้างวงกลมเล็ก 2 วงสัมผัสกัน โดยจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใหญ่ วงกลมเล็กแต่ละวงมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 7 เซนติเมตร

ลบเส้นรอบวงของวงกลมเล็กออกตามเส้นประ รูปวงกลมเล็กจะกลายเป็นรูปครึ่งวงกลม

เนื่องจากพื้นที่ส่วนบนและส่วนล่างของวงกลมใหญ่ เกิดจากวงกลมเล็ก 2 วงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน พื้นที่ 2 ส่วนนี้จึงมีขนาดเท่ากัน

พื้นที่สีดำ = พื้นที่สีขาว ดังนั้น พื้นที่สีดำ = ครึ่งหนึ่งของพื้นที่วงกลมใหญ่ พื้นที่วงกลมใหญ่ = r2 พื้นที่ครึ่งวงกลมใหญ่ = ( ) r2 = ( ) (7)(7) = 77 ตารางเซนติเมตร พื้นที่สีดำ = พื้นที่ครึ่งวงกลม = 77 ตารางเซนติเมตร

เฉลยคำตอบข้อ 10 พื้นที่สีแดง 8 ตร.ซม. โจทย์ สี่เหลี่ยมผืนผ้า 3 รูปวางติดกันดังรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปกว้าง 2 ซม. ยาว 4 ซม. พื้นที่สีแดงอยู่ระหว่างวงกลมรัศมี 4 ซม. 2 วง บริเวณสีแดงมีพื้นที่กี่ตร.ซม. วิธีทำ

ACFH เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสกว้างด้านละ 4 ซม. เส้นโค้งสีเขียวคือวงกลมที่จุดศุนย์กลางอยู่ที่ A BDEG เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสกว้างด้านละ 4 ซม. เส้นโค้งสีแดงคือวงกลมที่จุดศุนย์กลางอยู่ที่ B

วงกลมสีเขียวมีรัศมี 4 เซนติเมตร เนื่องจาก HAC เป็นมุมฉาก พื้นที่สีเขียว = ของพื้นที่วงกลม = ( ) r 2 = ( ) ( 4 ) ( 4 ) = ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สีเหลือง =	พื้นที่สี่เหลี่ยม BDEG - ของพื้นที่วงกลมที่มีรัศมี 4 เซนติเมตร
=	( ด้าน x ด้าน ) - ( ) r 2
=	( 4 x 4 ) - ( ) ( 4 ) ( 4 )
=	16 - ตารางเซนติเมตร
=	- ตารางเซนติเมตร
=	ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สีแดง =	พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า ADEH - พื้นที่สีเขียว - พื้นที่สีเหลือง
=	( 4 x 6 ) - - ตารางเซนติเมตร
=	24 - - ตารางเซนติเมตร
=	- - ตารางเซนติเมตร
=	ตารางเซนติเมตร
=	8 ตารางเซนติเมตร